・自己交叉する正多面体 正多面体は五種類しかない，としてきたが，これは凸多面体に限った話である。非凸多面体も含めると，実はさらに四つ増える。非凸な多面体には，自己交叉のないものとあるものがあるが，自己交叉のない非凸多面体は正多面体たりえない…

・平面正充填 合同な正多角形による平面充填のうち，隣合う正多角形が必ず一辺を共有するような*1配置を，平面正充填といい，以下の３種類が存在する。この平面正充填は，正多面体の平面バージョンになっており，外接球の半径を稜長に対して無限に大きくした…

・平面の正充填 多角形のタイルを隙間なく並べて，平面を埋めつくすことができる。これを平面充填とかタイル貼りという。合同な正多角形による平面充填のうち，隣合う正多角形が必ず一辺を共有するような配置*1を，平面の正充填という。平面正充填は，正三角…

正多角形だけを面とする凸多面体は，プラトンの立体５種，アルキメデスの立体13種，アルキメデスの角柱と半角柱，そしてジョンソンの立体ですべてである。ジョンソンの立体は92種類もあってとても多いが，いくつかのグループに分けることができ，そうするこ…

正多角形のみを面とする多面体のうち，各面の区別がつかないものが正多面体，各稜の区別がつかないものが準正多面体，各頂点の区別がつかないものが半正多面体である。 正多面体は，稜や頂点の区別もつかないが，準正多面体，半正多面体とは区別して呼ばれる…

これまでの記事では，凸多面体に限って考えてきたが，凸多面体が正確には何であるか説明しなかった。そもそも多面体とは何かも定義していない。今回はそのあたりを整理しておきたい。舞台はユークリッド空間である。 一次元図形として線分があり，二次元図形…

ポリドロン 標準セット出版社/メーカー: 東京書籍発売日: 1999/11/01メディア: おもちゃ＆ホビー購入: 2人 クリック: 48回この商品を含むブログ (1件) を見る ポリドロンという多面体おもちゃを買った。前々から気になっていたのだが，ゴールデンウィークに…

・半正多面体の対称性 アルキメデスの立体の大半は，正多面体と同じ対称性をもっている。ねじれ立方体とねじれ十二面体だけは，対称面がないキラルな多面体なので，鏡映対称性をもたないが，そのほかのアルキメデス立体は，正多面体と同じ鏡映対称性をもつ。…

・正多面体 正多面体は，同一の正多角形を面とする多面体のうち，各頂点まわりの面の並び方が同一の多面体である。五種類しかなく*1，このことを指摘した最古の文献がプラトンの著作であるため，別名をプラトンの立体という。正多面体の条件を緩めることで，…

記号 名称 面数 稜数 頂点数 {3,3} 正四面体 4 6 4 {4,3} 立方体 6 12 8 {3,4} 正八面体 8 12 6 {5,3} 正十二面体 12 30 20 {3,5} 正二十面体 20 30 12 ・正多面体の双対 正多面体のシュレーフリ記号{p,q}をよく見ると，p,qの数字が入れ替わったペアが二組あ…

・群とは何か 群とは，結合法則を満たす演算*1が元（要素）の間に定義された集合で，ただ一つの単位元をもち，どの元についても逆元がただ一つ存在するような集合である。元と元の順序付きペア一つについて演算の結果（積）が一つに決まり（演算は一意的），…

・正多面体を作る 長女が折紙好きなので，ときどき一緒にやる。それで，昔自分も折紙で手裏剣や多面体っぽいものを作っていたのを思い出した。娘は動物とか好きでよくせがまれるが，数学好きとしてはもっと幾何学的なものを折りたくなる。妥協して飾り箱など…

日本史を眺めると，人物の名前にはどうもお決まりのパターンがあるようだ。そして同じ人がいくつも名前をもっていて，いささかややこしい。実際どんな仕組みになっていたのだろう。…と思っていたら，偶然読んだ本，たしか高島俊男の「お言葉ですが…」に解説…

早いものでうちの子はもう四歳と二歳だが，子供が生まれる前，名づけのためにいろいろ本を買ったり借りたりして，夫婦で何度も相談を重ねた。どの本も名づけに使える漢字のリストを掲げていて，「苺」など数年前に追加されたたくさんの人名用漢字も含め，い…

●参考文献 １．ロビン・ウィルソン 「四色問題」 2004 新潮社 訳者は茂木健一郎。ただ，あとがきでモギケン自身が述べているように，下訳は別の人が行なっている。数学者でもない彼が下訳をどのようにブラッシュアップしたのか（できたのか）は不明。とはい…

四色問題では，二〜四辺国は可約配置だが，五辺国は違った。四色問題における可約配置の不可避集合を初めて見つけたのはアッペルとハーケンだが，可約配置の不可避集合はただ一通り存在するのではない。現に可約配置の不可避集合は複数セット見つかっている…

四色定理の証明は，五色定理とくらべて格段に難しい。四色問題に関する可約配置は当然すべて五色問題に関する可約配置である。しかし，逆は真でなく，五色問題の可約配置は必ずしも四色問題の可約配置ではない。五色問題では，二〜五辺国がいずれも可約配置…

四色定理が正しいのだから，それを弱めた主張「平面上のいかなる地図もたかだか五色で塗り分けられる」も，当然成り立つ。この五色定理の証明は比較的簡単だ。「可約配置」の「不可避集合」を作って証明するのは四色定理と同様である。 まず，準備としてある…

最近数学に凝っていて，いろいろ読んでいる。もちろん専門の本ではなくて，素人向けの啓蒙書ばかりだが，とても勉強になる。今読んでるのは「数学ガール」という異色の数学本。高二の「僕」が同級下級の美少女たちとちょっと背伸びした数学を学んでいくとい…