・立方体の爆発 立方体は，各面を底面とする６個の合同な正四角錐に分割することができる。これらの正四角錐は，頭頂点がすべて立方体の中心に集まっている。この状態から，正四角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，立方体が６個の破片になって飛んでゆくよ…

・正八面体の爆発 正八面体は，各面を底面とする８個の合同な正三角錐に分割することができる。これらの正三角錐は，頭頂点がすべて正八面体の中心に集まっている。この状態から，正三角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，正八面体が８個の破片になって飛ん…

・正二十面体の爆発 正二十面体は，各面を底面とする20個の合同な正三角錐に分割することができる。これらの正三角錐は，頭頂点がすべて正二十面体の中心に集まっている。この状態から，正三角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，正二十面体が20個の破片にな…

・正十二面体の爆発 正十二面体は，各面を底面とする12個の合同な正五角錐に分割することができる。これらの正五角錐は，頭頂点がすべて正十二面体の中心に集まっている。この状態から，正五角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，正十二面体が12個の破片にな…

・正十二面体の体積 稜の長さが１の正十二面体の体積を求めることを考える。どうすればいいか。 一番簡単なのは，正十二面体を12個の合同な正五角錐に分解して，その正五角錐の体積を12倍することだろう。正十二面体の中心と各稜を結ぶと，合同な正五角錐に1…

・言葉と意味の対応関係 日本語に限った話ではないが，言葉の意味というのは，はっきりと決まったものではない。同じ言葉でも，文脈とか文化に応じて，その意味はさまざまに変わりうる。発言者の意図した意味が，聴取者にしっかり伝わらないことがある。著書…

・正則な多面体と複合多面体 すべての面，すべての稜，すべての頂点がそれぞれ区別できない凸多面体は，５種の正多面体である。すなわち，正四面体，立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体であり，プラトンの立体とも呼ぶ。 すべての面，すべての稜，す…

・正十二面体の内接正多面体 前回まで三回にわたって，正十二面体の直投影図について見てきた。その中で，適当な補助線を引くと，正十二面体の点心図には正四面体の面心図が現れ，正十二面体の稜心図には立方体の面心図が現れることを見た（下図左，中）。 …

・正十二面体の点心直投影 正十二面体の対向する頂点の中心をつなぐ直線は，三回対称軸である。すなわち，この軸まわりに，360°/3＝120°回転させると正十二面体は回転前と完全に一致する。よって，この軸に平行な光線で直投影をおこなうと，その投影図は三回…

・正十二面体の稜心直投影 正十二面体の対向する稜の中心をつなぐ直線は，その稜に垂直で，二回対称軸である。すなわち，この軸周りに，360°/2＝180°回転させると正十二面体は回転前と完全に一致する。よって，この軸に平行な光線で直投影をおこなうと，その…

・正十二面体の直投影 先月の記事で，黄金比と正五角形の関係について述べた。その正五角形からなる正多面体である正十二面体も，黄金比と密接な関係がある。今回から三回かけて，正十二面体の直投影を通して，正十二面体と黄金比の関係について触れてみたい…

・投影法 コンピュータのディスプレイも，紙の上も，縦横二次元の世界である。だから，そこに三次元図形を描くには，どうしても二次元の図形として描かなくてはならない。三次元図形を二次元図形に変換するのだが，このときにもっとも普通に行われる方法が投…

・直交三長方形の凸包 前回の記事で，中心で直交する３枚の長方形の頂点をつないで得られる多面体について触れた。凸多面体としては，一般には二十面体で，黄金長方形のときに正二十面体，長方形が正方形のときは立方八面体，長方形が線分に退化したときは正…

・直交三長方形の凸包 三次元空間で，合同な長方形を三枚，中心を一致させて直交させることができる。このとき，長方形の長軸も互いに直交するようにする。 この図形自体は各面の縁が孤立しているので多面体ではない。しかし，これを枠としてまわりに面を貼…

・星型正多面体 自己交叉する正多面体４種は，凸多面体を「星型化」することで得られる正多面体なので，星型正多面体と呼ばれる。星型正多面体は，構成面が星型正多角形（ケプラーの多面体）であるか，又は頂点における面の配置が星型正多角形状（ポアンソの…

・自己交叉する正多面体 正多面体は五種類しかない，としてきたが，これは凸多面体に限った話である。非凸多面体も含めると，実はさらに四つ増える。非凸な多面体には，自己交叉のないものとあるものがあるが，自己交叉のない非凸多面体は正多面体たりえない…

・平面の正充填 多角形のタイルを隙間なく並べて，平面を埋めつくすことができる。これを平面充填とかタイル貼りという。合同な正多角形による平面充填のうち，隣合う正多角形が必ず一辺を共有するような配置*1を，平面の正充填という。平面正充填は，正三角…

記号 名称 面数 稜数 頂点数 {3,3} 正四面体 4 6 4 {4,3} 立方体 6 12 8 {3,4} 正八面体 8 12 6 {5,3} 正十二面体 12 30 20 {3,5} 正二十面体 20 30 12 ・正多面体の双対 正多面体のシュレーフリ記号{p,q}をよく見ると，p,qの数字が入れ替わったペアが二組あ…

・群とは何か 群とは，結合法則を満たす演算*1が元（要素）の間に定義された集合で，ただ一つの単位元をもち，どの元についても逆元がただ一つ存在するような集合である。元と元の順序付きペア一つについて演算の結果（積）が一つに決まり（演算は一意的），…

・正多面体を作る 長女が折紙好きなので，ときどき一緒にやる。それで，昔自分も折紙で手裏剣や多面体っぽいものを作っていたのを思い出した。娘は動物とか好きでよくせがまれるが，数学好きとしてはもっと幾何学的なものを折りたくなる。妥協して飾り箱など…