久々の更新になります。見ておられる方いるかどうか…。まあそれはともかく，今回は平面幾何のパズルです。問題はタイトルの通りなのですが，ちょっと簡略化した「平面上で，距離が1種類になる3点の配置は？」という問いなら簡単ですね。答えはただひとつ。そ…
久々の更新。メモ程度だけど。入試問題とかで有名な話。 三角形の各辺の三等分点と，それぞれに向かい合う頂点を，向きを揃えて結ぶと，もとの三角形の1/7の面積の三角形ができる。 これはラウスの定理の一例になっている。 http://en.wikipedia.org/wiki/Ro…
今年のノーベル化学賞は，準結晶の発見者，ダニエル・シェヒトマン氏だそうです。 準結晶については，佐藤郁郎さんの「今月のコラム」で聞きかじっていて，なんとなく知ってはいたのですが，偉大な業績だったんですね。 佐藤さんの，５回対称性と準周期的結…
・立方体の爆発 立方体は，各面を底面とする６個の合同な正四角錐に分割することができる。これらの正四角錐は，頭頂点がすべて立方体の中心に集まっている。この状態から，正四角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，立方体が６個の破片になって飛んでゆくよ…
・正八面体の爆発 正八面体は，各面を底面とする８個の合同な正三角錐に分割することができる。これらの正三角錐は，頭頂点がすべて正八面体の中心に集まっている。この状態から，正三角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，正八面体が８個の破片になって飛ん…
・正二十面体の爆発 正二十面体は，各面を底面とする20個の合同な正三角錐に分割することができる。これらの正三角錐は，頭頂点がすべて正二十面体の中心に集まっている。この状態から，正三角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，正二十面体が20個の破片にな…
・正十二面体の爆発 正十二面体は，各面を底面とする12個の合同な正五角錐に分割することができる。これらの正五角錐は，頭頂点がすべて正十二面体の中心に集まっている。この状態から，正五角錐をまっすぐ外へ移動させていくと，正十二面体が12個の破片にな…
・正十二面体の体積 稜の長さが１の正十二面体の体積を求めることを考える。どうすればいいか。 一番簡単なのは，正十二面体を12個の合同な正五角錐に分解して，その正五角錐の体積を12倍することだろう。正十二面体の中心と各稜を結ぶと，合同な正五角錐に1…
・言葉と意味の対応関係 日本語に限った話ではないが，言葉の意味というのは，はっきりと決まったものではない。同じ言葉でも，文脈とか文化に応じて，その意味はさまざまに変わりうる。発言者の意図した意味が，聴取者にしっかり伝わらないことがある。著書…
・正則な多面体と複合多面体 すべての面，すべての稜，すべての頂点がそれぞれ区別できない凸多面体は，５種の正多面体である。すなわち，正四面体，立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体であり，プラトンの立体とも呼ぶ。 すべての面，すべての稜，す…
・正十二面体の内接正多面体 前回まで三回にわたって，正十二面体の直投影図について見てきた。その中で，適当な補助線を引くと，正十二面体の点心図には正四面体の面心図が現れ，正十二面体の稜心図には立方体の面心図が現れることを見た（下図左，中）。 …
・正十二面体の点心直投影 正十二面体の対向する頂点の中心をつなぐ直線は，三回対称軸である。すなわち，この軸まわりに，360°/3＝120°回転させると正十二面体は回転前と完全に一致する。よって，この軸に平行な光線で直投影をおこなうと，その投影図は三回…
・正十二面体の稜心直投影 正十二面体の対向する稜の中心をつなぐ直線は，その稜に垂直で，二回対称軸である。すなわち，この軸周りに，360°/2＝180°回転させると正十二面体は回転前と完全に一致する。よって，この軸に平行な光線で直投影をおこなうと，その…
・正十二面体の直投影 先月の記事で，黄金比と正五角形の関係について述べた。その正五角形からなる正多面体である正十二面体も，黄金比と密接な関係がある。今回から三回かけて，正十二面体の直投影を通して，正十二面体と黄金比の関係について触れてみたい…
小飼弾さんのブログをよく見るのだが，そこで紹介されていた，だまし絵の本がとても面白かった。杉原厚吉「だまし絵のトリック―不可能立体を可能にする (DOJIN選書34)」化学同人である。 まだちゃんと読み終わっていないのだが，触発されて自分でもだまし絵…
・投影法 コンピュータのディスプレイも，紙の上も，縦横二次元の世界である。だから，そこに三次元図形を描くには，どうしても二次元の図形として描かなくてはならない。三次元図形を二次元図形に変換するのだが，このときにもっとも普通に行われる方法が投…
多面体の話題以外は，今後こちらのPolyhedronの非多面体日記につけようと思います。よろしくお願いします。
・直交三長方形の凸包 前回の記事で，中心で直交する３枚の長方形の頂点をつないで得られる多面体について触れた。凸多面体としては，一般には二十面体で，黄金長方形のときに正二十面体，長方形が正方形のときは立方八面体，長方形が線分に退化したときは正…
・直交三長方形の凸包 三次元空間で，合同な長方形を三枚，中心を一致させて直交させることができる。このとき，長方形の長軸も互いに直交するようにする。 この図形自体は各面の縁が孤立しているので多面体ではない。しかし，これを枠としてまわりに面を貼…
正五角形の辺長と対角線長の比は黄金比である。いままで，対角線の長さの比が黄金比であるような黄金菱形多面体について述べてきたが，黄金比について詳しくは触れなかった。黄金比は約1.61803という値をもつ無理数である。非常に興味深い性質を備えている重…
hhaseさんの「あそびをせんとや」に，正四角反柱の輪についての記事が書かれている。等稜正四角反柱の模型を，対向する正三角形の面でどんどんつないでいくと，13個で環状になるそうだ。13個とは随分半端な数で，おそらく両端に隙間が残るか重なると思われる…
・尖鋭菱形六面体による花形 黄金菱形六面体の尖鋭型のもの*1において，鋭角頂点*2に集まる稜は，12本のうち６本である。そして，この稜を挟む２枚の面は，この稜に関する72°の回転でぴったり重なる。よって，６本のうち１つの稜を決めて，その周りに六面体…
前回のエントリで，扁平と尖鋭，二種類の黄金菱形六面体を積み上げていって，二個づつで第二種菱形十二面体，五個づつで菱形二十面体，十個づつで菱形三十面体がつくれることを述べた。この様子を動画にしてみた。http://d.hatena.ne.jp/Polyhedron/files/%E…
よく見るお気に入りのサイトに，hhaseさんの「あそびをせんとや」がある。かたちとパズルに関する話題が豊富で眺めていてとても楽しい。先日，その「あそびをせんとや」で拙ブログを紹介していただいた。有り難うございます。・黄金菱形多面体間の関係 前回…
・菱形多面体を列挙する 合同な菱形から構成される凸多面体を菱形多面体というが，前々回まで，このうち菱形六面体，菱形十二面体，菱形三十面体について述べてきた。後二者は，準正多面体*1の双対であり，対称性が高い。菱形六面体は，立方体を，稜長を変え…
・菱形十二面体，菱形三十面体の拡張 合同な菱形からなり，どの稜も同等であるような多面体は，立方体*1，菱形十二面体，菱形三十面体の三種だけである。いずれの場合も菱形の形状は一意に決まり，立方体では正方形，菱形十二面体は白銀菱形，菱形三十面体は…
・正十二面体と菱形三十面体 菱形三十面体は，合同な黄金菱形30枚*1からなる多面体である。左図のように，正十二面体の各面に正五角錐を貼り付けることで作ることができる。隣同士で正五角錐の側面が面一になるので，構成面は菱形になる。正五角錐は12個で，…
今まで多面体はポリドロンでつくったものか，そうでなければ手書きの図を掲げていたが，ＣＧを使ってもっときれいに分かりやすくしてみようと思い立つ。フリーウェアの「POV-Ray」を使用した。 菱形十二面体は，合同な白銀菱形12枚*1からなる多面体である。…
・菱形多面体 合同な菱形のみを面とする凸多面体を菱形多面体という。菱形は，すべての稜の長さが等しい四角形である。鋭角と鈍角の二種類の内角が交互に並び，対角線は直交する。対向する辺が平行な平行四辺形の一種で，二種類の内角は互いに補角になってい…
・星型正多面体 自己交叉する正多面体４種は，凸多面体を「星型化」することで得られる正多面体なので，星型正多面体と呼ばれる。星型正多面体は，構成面が星型正多角形（ケプラーの多面体）であるか，又は頂点における面の配置が星型正多角形状（ポアンソの…
