双対多面体と切頂

記号	名称	面数	稜数	頂点数
{3,3}	正四面体	4	6	4
{4,3}	立方体	6	12	8
{3,4}	正八面体	8	12	6
{5,3}	正十二面体	12	30	20
{3,5}	正二十面体	20	30	12

・正多面体の双対
　正多面体のシュレーフリ記号{p,q}をよく見ると，p,qの数字が入れ替わったペアが二組ある。この各ペアは互いに双対（dual）の関係にある。ある多面体Ａの双対多面体とは，Ａの頂点と面の配置が入れ替わった多面体である*1。普通には，Ａの各面の中心を頂点とするような多面体を考えればよい。立方体を構成する正方形の中心（全部で六つ）を，それぞれ隣接する正方形の中心と結ぶと，正八面体が得られる。その逆に，正八面体を構成する正三角形の中心（全部で八つ）を，それぞれ隣接する正三角形の中心と結ぶと，立方体が得られる。これから分かるように，双対多面体同士は，頂点と面をいわば交換しあっており，頂点の数と面の数が逆になっている。
　正多面体では，立方体と正八面体，正十二面体と正二十面体がそれぞれ双対の関係にある。正四面体は自己双対，すなわち自分自身が双対多面体となっている。
　双対多面体は面と頂点を入れ替えるだけで，稜の数は等しくなる。互いに双対な正多面体は，一方の稜を他方の稜と次のように置き換えることでも得られる。正多面体の稜を，この稜に直交し，かつ稜接球*2に接する稜に置き換えれば，双対な正多面体が得られるのだ。
　また，双対な正多面体は同じ回転対称性をもつ。そのため，正多面体が五種あるのに対して，正多面体群は三種しかない。

・正多面体の切頂
　正多面体を徐々に変形していくことで，それと双対な正多面体を得ることができる。
　例えば，立方体の八つの頂点を，各切口が正三角形になるように一斉に切ることを考える。この操作を切頂（截頭）という。はじめは少しだけ切って，徐々に切口が大きくなるように切ってゆくと，隣接する切口があるところで出会う。そのあとも構わずどんどん深く切ってゆくと*3，ついにはもともとの立方体の面がすっかりなくなる。このとき，切口ははじめと逆さまの正三角形になっていて，隣の切口と稜を共有している。これが正八面体だ。立方体のもとの頂点が切口になり，それが正八面体の面になっている。そして立方体のもとの面が一点に退化して，それが正八面体の頂点になっているから，なるほど双対である。
　逆に，正八面体の六つの頂点を，切口が正方形になるように，徐々に切口が大きくなるように切ってゆくと，隣接する切口がある時点で出会う。そのあとも構わずどんどん深く切ってゆくと，ついにはもとの正八面体の面がすっかりなくなって，立方体が得られる。
　この二つの過程は，サイズを無視すれば，互いに相手の正反対になっている。つまり，切口が出会った後の立方体の切頂は，切口が出会う前の正八面体の切頂を，フィルムを逆回ししながら見たものと本質的に同じで，逆もまたそうである。だから，切口が出会うまでの切頂を「切頂」と言っても問題ない。そうすると，立方体から正八面体への変化は，「立方体→立方体の切頂型→正八面体の切頂型→正八面体」のように記述できる。
　もちろん，正十二面体と正二十面体の間にもこれと同様の関係がある。

・切頂による推移
　立方体の切頂では，切口が出会う前，切口は正三角形である。このとき，もともと立方体の面だった正方形は，正方形を切頂した八角形になっている。徐々に深く切ってゆくと，この八角形が正八角形になる瞬間がある。このときできる多面体を切頂立方体という。これは六つの正八角形と，八つの正三角形からなる多面体であり，半正多面体*4の一種である。切頂立方体からもっと切っていって，隣接する切口が出会うときには，もと立方体の面だった正方形は，45度傾いた面積半分の正方形になっている。このときできる多面体を，立方八面体と呼ぶ。立方体と正八面体の合いの子という名称だ*5。これは六つの正方形と，八つの正三角形からなる多面体である。これは半正多面体の一種であり，準正多面体*6の一つである。正八面体の切頂では，切口が出会う前，切口は正方形で，もと正八面体の面だった正三角形は，正三角形を切頂した六角形になっている。徐々に深く切ってゆくと，この六角形が正六角形になる瞬間があり，このときできる多面体を切頂八面体という*7。これは六つの正方形と，八つの正六角形からなる多面体であり，半正多面体の一種である。切頂八面体からもっと切っていって，隣接する切口が出会うときには，もと正八面体の面だった正三角形は，逆さまで辺の長さが半分の正三角形になっている。このときできる多面体は，立方八面体である。
　結局，双対の正多面体同士は，切頂という操作を通して推移する関係にある。切頂による推移を通して，回転対称性は変わらない。例えば，立方体とその切頂，正八面体とその切頂，及び立方八面体の回転対称性は，いずれも正八面体群である。

　　　　　

　立方体　−　切頂立方体（写真左）　−　立方八面体　−　切頂八面体（写真右）　−　正八面体

　　　　　
　正十二面体　−　切頂十二面体（写真左）　−　二十・十二面体　−　切頂二十面体（写真右）　−　正二十面体

　切頂十二面体は，12個の正十角形と20個の正三角形でできている。
　二十・十二面体は，正十二面体と正二十面体の合いの子で，12個の正五角形と20個の正三角形でできている。
　切頂二十面体は，12個の正五角形と20個の正六角形でできており，サッカーボールの形として有名である。

　自己双対の正四面体でも，同様の推移を考えることができる。ただし，この場合，中間にできるのは準正多面体ではなく，正多面体（正八面体）になる*8。

　　
　正四面体　−　切頂四面体（写真）　−　正八面体　−　切頂四面体　−　正四面体

　切頂四面体は，四つの正六角形と四つの正三角形でできている。これの切頂が深くなって，正六角形も正三角形になってしまったのが正八面体である。

・一般の多面体の双対
　正多面体だけでなく，一般の多面体についても，頂点と面を入れ替えた双対多面体を考えることができる。例えば，正四面体は自己双対であるが，一般の角錐も自己双対である。角錐の双対をとると同じタイプの角錐になって，側面が底面の頂点に，底面が頭頂点に対応する。一般のｎ角柱の双対は，ｎ角錐を底面で上下から貼り合わせた重ｎ角錐である。重角錐の双対は，もちろん角柱になる。
　一般に，双対多面体の双対はもとの多面体になる。頂点と面を入れ替える作業を二回やれば，もとに戻るのは当たり前かもしれない。それに，「双対の双対がもとのもの」というのは言ってみれば「双対」という言葉の定義であるから，「双対多面体の双対はもとの多面体」というのは同語反復でしかない。大事なのは，一般に多面体について，双対関係をなすような相手の多面体があり，面と頂点を入れ替えたものがその双対多面体になる，という事実である。もし多面体の稜と頂点を入れ替えたり，稜と面を入れ替えたりすることができれば，それも双対関係になるだろうが，そのような入れ替えは不可能である。入れ替えるのは面と頂点でなくてはならない。

・双対多面体と双対グラフ
　一般の多面体の双対を考えるとき，伸縮による形の違いは無視しているといえる。一般の角錐は自己双対であるが，その各面中心をつないでできる角錐は，全体的に小さいだけでなく，母線方向への縮みが大きく，もとの角錐より上下に扁平になっている。結局，一般の多面体について「双対」と言った時点で，多面体の面同士のつながり具合だけを問題としていることになる。つながり具合しか考えないということは，多面体をグラフとしてとらえているということだ。あるグラフの頂点と面を入れ替えたグラフを双対グラフと言うが，双対多面体はまさに双対グラフそのもの*9といってもいいかもしれない。

*1:シュレーフリ記号{p,q}の意味は，正p角形が，頂点周りにq個集まる，ということだった。互いに双対な多面体Ａ，Ｂについて，Ａのある面の辺の数（＝頂点の数）は，Ｂの対応する頂点に集まる面の数と同じで，逆にＡの頂点に集まる面の数は，Ｂの対応する面の頂点の数と同じである。そのため，互いに双対な正多面体ではpとqが入れ替わっている。

*2:すべての稜に接する球。正多面体は稜接球をもち，稜接球は，各稜にその中点において接する。

*3:切口が出会っても構わず切ってゆくときには，切口の形が変わってしまう。立方体の切頂では，切口が出会うまでは正三角形である。その後は正三角形が切頂された六角形になり，次第に切頂が深くなっていって，正六角形を境に短い辺と長い辺が入れ替わり，ついには逆さの正三角形になる。正八面体の切頂では，切口ははじめ正方形で，切口が出会った後は正方形が切頂された八角形になり，次第に切頂が深くなっていって，正八角形を境に短い辺と長い辺が入れ替わり，ついには45度傾いた正方形になる。

*4:異種の正多角形を面とし，それらの頂点への集まり方が一定の多面体。

*5:立方正八面体とは呼ばないことに注意。二十・十二面体も同様。

*6:半正多面体のうち，稜の周りへの面の集まり方が一定の多面体。

*7:正八面体を切頂してできたものだが，切頂正八面体とは言わないことに注意。切頂四面体，切頂十二面体，切頂二十面体も同様。

*8:この中間形態としての正八面体は，正四面体よりも対称性が高いが，正四面体群は正八面体群の部分群であるから，正四面体の対称性は，推移を通して一応保たれている。

*9:この場合の双対グラフは閉曲面上（通常は球面上）の双対グラフである。