正十二面体の十二等分 - Polyhedronの日記

・正十二面体の体積
　稜の長さが１の正十二面体の体積 $V$ を求めることを考える。どうすればいいか。

　一番簡単なのは，正十二面体を12個の合同な正五角錐に分解して，その正五角錐の体積を12倍することだろう。正十二面体の中心と各稜を結ぶと，合同な正五角錐に12等分することができる。*1正五角錐の底面は，辺長１の正五角形で，高さは正十二面体の内接円の半径に等しい。

　正五角形の面積は，次のようにして求まる。正五角形を二本の対角線で分割すると，鈍角黄金三角形２つと鋭角黄金三角形１つが得られる。鋭角黄金三角形の底辺長は１，等辺長は $\phi$ である。*2
　よってピタゴラスの定理より，鋭角黄金三角形の高さは， $\sqrt{\phi^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}$
　なので，鋭角二等辺三角形の面積は， $\frac{\sqrt{4\phi+3}}{4}$ 。
　鈍角黄金三角形の面積は，この $\phi$ 分の１，すなわち $\phi-1$ 倍なので，正五角形の面積 $S$ は，鋭角二等辺三角形の面積の $1+2(\phi-1)=2\phi-1(=\phi+\frac{1}{\phi})=\sqrt{5}$ 倍になる（過去エントリ参照）。
　よって，正五角形の面積は， $S=\frac{\sqrt{5(4\phi+3)}}{4}\simeq1.720$

　正十二面体の内接球の半径 $r_i$ は，以前稜心図から求めてあった。
　 $r_i=\frac{\phi^3}{2\sqrt{\phi+2}}\simeq1.114$
　結局，正十二面体の体積は， $V=\frac{12}{3}Sr_i=\frac{\sqrt{5(4\phi+3)}\phi^3}{2\sqrt{\phi+2}}\simeq7.663$ 。すなわち，稜長１センチの正十二面体の体積は，約7.663立方センチ。稜長の等しい立方体の体積の7.663倍である。かなり大きいが，実際稜長を揃えたとき，五種の正多面体の中で正十二面体の体積がダントツに大きくなる*3。

・正十二面体の爆発と爆縮
　正十二面体が爆発して12個の角錐破片が外へ飛んでいく様子を動画にしてみた→爆発.gif 。
　この逆に，もし破片が内側に飛んでいくとすると，どうなるだろうか。破片同士は干渉せずに互いにすり抜けるとする。おなじみの多面体にとてもよく似た形が現れるのだが…。分かった方はコメント下さい。質問もお気軽にどうぞ。（1/18修正）