菱形多面体と正多面体

・菱形多面体
　合同な菱形のみを面とする凸多面体を菱形多面体という。菱形は，すべての稜の長さが等しい四角形である。鋭角と鈍角の二種類の内角が交互に並び，対角線は直交する。対向する辺が平行な平行四辺形の一種で，二種類の内角は互いに補角になっている。対向する面が平行な多面体をゾーン多面体というが，菱形多面体はその一種である。立方体は正多面体であるが，菱形多面体の特殊な例にもなっている。
　菱形多面体には，六面体，十二面体，三十面体，二十面体，第二種十二面体の五種類がある。ここでは前三者について，正多面体との関連を中心に述べてみたい。

・菱形六面体
　菱形多面体のうち，最も面数の少ないものは，菱形六面体である*1。これは立方体の各面を菱形に置換して得られるもので，組み合わせ的には立方体と等しい。つまり，立方体と菱形六面体では，頂点，稜，面の数とそのつながり方が同じである。12本の稜を８個の頂点でつないだ立方体の枠を用意して，それを潰すと菱形六面体の枠が得られる。八つの頂点のうち，中心に関して対称な位置にある一組の頂点には，同じ角度の角が集まる。他の頂点では鋭角と鈍角が混在している。菱形六面体は，鋭角ばかりが集まる頂点をもつ尖ったものと，鈍角ばかりが集まる頂点をもつ扁平なものに分けることができ，両者の境界が立方体ということになる。写真は尖鋭菱形六面体で，鋭角が60°のものである。
　菱形六面体では，菱形の形はある程度自由である。ただし，一つの頂点に三つの角が集まるので，各面に120°以上の鈍角をもつ扁平菱形六面体は存在しない。鈍角が120°以上，すなわち鋭角が60°以下の菱形六面体は必然的に尖鋭タイプになる。*2

・菱形多面体の頂点形状
　右に，菱形十二面体と菱形三十面体を示す。
　菱形六面体は，菱形多面体に含めないこともある。菱形多面体を最初に研究したのはケプラーであるが，彼も菱形六面体を除外し，対称性の高い菱形十二面体と菱形三十面体を扱った。どちらも，鋭角ばかり，又は鈍角ばかりが集まる頂点だけをもっており，鋭角と鈍角が混在する頂点をもたない点で，菱形六面体とは異なる。菱形十二面体と菱形三十面体は頂点近傍の錐がすべて正多角錐であるが，菱形六面体はそうではない。

・菱形十二面体
　菱形十二面体は，合同な菱形12枚からなり，内接球をもつ多面体である。この菱形は，対角線の比が１：√２の白銀比*3でなくてはならず，鋭角が約70.5°，鈍角が約109.5°になる。鋭角が４つ集まる頂点が６個，鈍角が３つ集まる頂点が８個あり，前者は中心からみて上下左右前後，すなわち正八面体の頂点の位置にあり，後者は立方体の頂点の位置にある。すなわち，稜長１の立方体の各面を，高さ１／２の正四角錐でぴったり覆うと，菱形十二面体が得られる。この正四角錐の底面／側面間の二面角はちょうど45°で，立方体の二面角90°にこれを二つ加えると180°となり，隣合う正四角錐同士で側面が一つの平面上に来るのである。このことからも，菱形の対角線比は白銀比しか許されないことが分かる。
　見方を変えると，菱形十二面体は，稜長比が白銀比の立方体と正八面体を，同心に重ねて配置して，すべての頂点をつないで得られる多面体といえる。つまり，この立方体／正八面体の複合多面体は，その凸包（その多面体を含む最小の凸多面体）が菱形十二面体になる。
　菱形十二面体は，このように立方体とその双対（正八面体）に関係が深い多面体である。そして，同様に立方体とその双対（正八面体）に関係が深い多面体に，準正多面体の一種，立方八面体がある。実は菱形十二面体は立方八面体の双対多面体であって，凸包が菱形十二面体（右図）となる立方体／正八面体の複合多面体の重複部分を見ると，それが立方八面体（左図）になっている。
　このほか，菱形十二面体と関係の深い多面体に，斜方立方八面体と大斜方立方八面体がある。斜方立方八面体は，菱形十二面体を切頂して得られる（左図）。鋭角が四つ集まる頂点からの切口は正方形，鈍角が三つ集まる頂点からの切口は正三角形になるから，残りの面が正方形になったものが，斜方立方八面体である。この切頂を，残りの面が正方形を保つように注意しつつさらに深くしていけば大斜方立方八面体が得られる（右図）。切口の八角形と六角形*4が，正八角形，正六角形になったところで止めればよい。これらの切頂は，菱形十二面体に，立方体と正八面体を同心配置すれば得られる。よって，斜方立方八面体も大斜方立方八面体も，菱形十二面体＋立方体＋正八面体の複合多面体の重複部分になっている。

・菱形三十面体
　菱形三十面体は，合同な菱形30枚からなる多面体であり，内接球をもつ。この菱形は，対角線の比が１：（√５＋１）／２の黄金比*5でなくてはならず，鋭角が約63.4°，鈍角が約116.6°になる。鋭角が５つ集まる頂点が12個，鈍角が３つ集まる頂点が20個あり，前者は中心からみて正二十面体の頂点の位置にあり，後者は正十二面体の頂点の位置にある。すなわち，正十二面体の各面を，正五角錐でぴったり覆って，隣合う正五角錐同士で側面が一つの平面上に来るようにすると，菱形三十面体が得られる。
　見方を変えると，菱形三十面体は，稜長比が黄金比の正十二面体と正二十面体を，同心に重ねて配置して，すべての頂点をつないで得られる多面体である。つまり，この複合多面体の凸包が菱形三十面体になる。
　菱形三十面体は，このように正十二面体とその双対（正二十面体）に関係が深い多面体である。そして，同様に正十二面体とその双対（正二十面体）と関係が深い多面体に，準正多面体の一種，二十十二面体がある。実は菱形三十面体は二十十二面体の双対多面体であって，凸包が菱形三十面体（右図）となる正十二面体／正二十面体の複合多面体の重複部分を見ると，それが二十十二面体（左図）になっている。
　このほか，菱形十二面体と関係の深い多面体に，斜方二十十二面体と大斜方二十十二面体がある。斜方二十十二面体は，菱形三十面体を切頂して得られる（左図）。鋭角が五つ集まる頂点からの切口は正五角形，鈍角が三つ集まる頂点からの切口は正三角形になるから，残りの面が正方形になったものが，斜方二十十二面体である。この切頂を，残りの面が正方形を保つようにさらに深くしていくと，大斜方二十十二面体が得られる（右図）。切口の十角形と六角形*6が，正十角形と正六角形になったところで止めればよい。これらの切頂は，菱形三十面体に，正十二面体と正二十面体を同心配置すれば得られる。よって，斜方二十十二面体も大斜方二十十二面体も，菱形三十面体＋正十二面体＋正二十面体の複合多面体の重複部分になっている。

・菱形六面体としての立方体
　正四面体は自己双対の多面体であり，自分を逆さまに配置した正四面体が双対多面体である。この双対多面体の稜長比を１として複合多面体をつくってすべての頂点をつなぐと，菱形六面体の特殊例である立方体が得られる。この複合多面体はケプラーの八角星と呼ばれる。その凸包は立方体である。二つの正四面体の重複部分は正八面体であり，ケプラーの八角星はこの正八面体の各面を広げてできる星型になっている。
　一般の菱形六面体には，上記のような双対正多面体との深い関係は見られない。ただ，内接球をもつ菱形多面体という点では，菱形六面体は菱形十二面体，菱形三十面体と同様である。菱形六面体の面の形状（対角線比）には自由度があるが，正方形という特別な菱形からなる菱形六面体に限れば，白銀菱形からなる菱形十二面体や，黄金菱形からなる菱形三十面体と同じ性質をもっている。

*1:四角形のみからなる多面体で最も面数の少ないものは六面体である。このことは，オイラーの定理からすぐにわかる。

*2:菱形の形状は，鋭角又は鈍角の角度でも表すことができるが，対角線の長さの比でも一意的に表せる。菱形の対角線は直交するので，対角線長さの比をｒ＝（短い対角線）／（長い対角線）と定義すると，菱形の内角αとの関係は，ｒ＝ｓｉｎαである。すなわち，対角線比が１：√３／２を超える菱形では，尖鋭菱形六面体しかつくれない。

*3:正方形の辺と対角線の長さの比。辺長比が白銀比の長方形は，短辺が重なるように二つ折りすると，相似な長方形になる。Ａ４，Ｂ５等の用紙サイズはほぼ白銀長方形になっている。

*4:深切頂で，切口は準正八角形と準正六角形になる。準正ｎ角形とは，長さが異なる二種類の辺が交互に並んだ内角の等しい多角形で，ｎが偶数のときだけ存在する。

*5:正五角形の辺と対角線の長さの比。辺長比が黄金比の長方形は，それと相似な長方形と，短辺を一辺とする正方形とに分割することができる。名刺はほぼ黄金長方形になっている。

*6:深切頂で，切口は準正十角形と準正六角形になる。