正十二面体から正複合多面体をつくる
・正十二面体の内接正多面体
前回まで三回にわたって，正十二面体の直投影図について見てきた。その中で，適当な補助線を引くと，正十二面体の点心図には正四面体の面心図が現れ，正十二面体の稜心図には立方体の面心図が現れることを見た（下図左，中）。
正四面体の面心軸は点心軸と一致する*1から，正十二面体の点心図に正四面体の点心図を見いだすこともできる（上図右）。つまり，正十二面体に対して，頂点を共有するように正四面体と立方体を内接させると，正四面体の面心軸（点心軸）は正十二面体の点心軸（の一部）と一致し，立方体の面心軸は正十二面体の稜心軸（の一部）と一致する。
・内接正四面体を重ねる
つまりこういうことだ。正十二面体の点心軸（三回対称軸）は，正四面体の面心軸（三回対称軸）をすべて含んでいる。正十二面体の点心軸10本のうち，４本を互いに隣り合わないように選ぶと，それは正四面体の面心軸と一致する。正十二面体を固定したとき，このような軸の選び方は５通りある。正四面体では，面心軸に対する面の向きに区別があるから，内接正四面体のとりかたは，この２倍の10通りである。この10個の正四面体をすべて重ねると，二十面体対称な複合多面体になる（右図）。
正四面体を半数の５個（各軸から１個づつ）重ねても，二十面体対称な複合多面体が得られる（上図）。これはキラルな複合多面体であり，互いに鏡映の関係にある二種が存在する。正四面体５個の複合多面体と，その鏡像を重ねたものが，正四面体10個の複合多面体になっている。
少しわかりにくいかもしれないので，正四面体を１つづつ増やしていった図を掲げておく。
・内接立方体を重ねる
正十二面体と内接立方体の関係もこれと似たようなことがいえる。すなわち，正十二面体の稜心軸（二回対称軸）は，立方体の面心軸（四回対称軸）をすべて含んでいる。正十二面体の稜心軸15本のうちから，直交する３本を選ぶと，それが立方体の面心軸になる。このような選び方は５通りあるから，正十二面体を固定したときの内接立方体のとりかたも，５通りある。この５つの立方体をすべて重ねると，二十面体対称な複合多面体になる。この複合多面体は鏡映対称である。
立方体をひとつづつ増やしていった様子も掲げる。
・複合多面体
複合多面体とは，広義には，互いに交叉する複数の多面体を，その位置関係を含めて一括してとらえた三次元図形のことである。複合多面体は，面や稜が連結でないから多面体ではない。英語では，「polyhedron compound」とか「polyhedral compound」，すなわち「多面体の複合体」とか「多面複合体」と呼んで，多面体でないことが一応明示されるようだ。ともあれ日本語では「複合多面体」が定訳なので，それをそのまま用いる。
多面体の複合体が複合多面体とはいえ，ふつうに「複合多面体」というときは，その中でも対称性の高いものに限られる。すなわち正多面体と同じ回転対称性をもつもののみが「複合多面体」とされることが多い。必ずしも同じ多面体を複合させたものに限らない。例えば双対多面体である立方体と正八面体の複合体や，正十二面体と正二十面体の複合体なども複合多面体である。特に，大きさをうまく調節すると，立方体と正八面体からは凸包*2が菱形十二面体となる複合多面体が得られ，正十二面体と正二十面体からは凸包が菱形三十面体となる複合多面体が得られる。
・正複合多面体
先に挙げた，正十二面体に内接する３種の複合多面体（正四面体10個，正四面体５個，立方体５個）は，複合多面体のなかでも特に対称性が高い。すべての面，すべての稜，すべての頂点がそれぞれ区別できないので，正複合多面体と呼ばれる。正十二面体は，これらの正複合多面体にただ外接するのではなく，これらの正複合多面体の凸包になっている。
正複合多面体には，これらのほかにケプラーの八角星と，５つの正八面体の複合多面体があって，合計５種である。ケプラーの八角星は，立方体に内接する二つの正四面体からなる正複合多面体で，八面体対称である。ダビデの星（正6/2角形）の三次元バージョンともいえる。正十二面体に内接する10個の正四面体のうち，鏡映の位置にある２つを合わせた複合多面体といえる。
立方体５個からなる正複合多面体において，立方体を，それに内接する正四面体でうまく置き換えると，正四面体５個からなる正複合多面体が得られ，ケプラーの八角星で置き換えると，正四面体10個からなる正複合多面体が得られる。
立方体を，それと双対な正八面体で置き換える（左図）と，正八面体５個からなる正複合多面体が得られる。これの凸包はどんな形かわかるだろうか？正八面体の頂点の位置は，正十二面体の内接立方体の面の中心，すなわち正十二面体の稜の中心の位置にある*3。よって，凸包の形状は，正十二面体の稜中点をつないでできる準正多面体*4，二十十二面体である。
二十十二面体は，正十二面体（又は正二十面体）を，稜の中点まで切頂して得られる準正多面体である。二十十二面体の30個の頂点のうち，対向頂点を３組，各組を結ぶ直線が互いに直交するように選ぶと正八面体ができる。このような選び方には５通りがあり，この５つの正八面体の複合体が５つ目の正複合多面体になるのである。
