菱形六十面体と大きな菱形三十面体
・尖鋭菱形六面体による花形
黄金菱形六面体の尖鋭型のもの*1において，鋭角頂点*2に集まる稜は，12本のうち６本である。そして，この稜を挟む２枚の面は，この稜に関する72°の回転でぴったり重なる。よって，６本のうち１つの稜を決めて，その周りに六面体を72°回転させると，回転前後の六面体は１枚の面を共有する。
この手続きを続ければ，144°，216°，288°の回転も，同様に考えることができる。こうして得られた５つの尖鋭六面体は，初めの１本の稜を隙間なく取り囲んだ，花のような形をしている。この配置は，菱形六面体の積み上げで菱形二十面体から菱形三十面体を得るときに，菱形二十面体の中心に積む５つの尖鋭六面体と同一である。
この花形に配置された５つの尖鋭六面体をよく見ると，花の萼にあたる部分の表面に，鋭角頂点に集まっていた稜が５本残っている。よって，この５本の稜についても，尖鋭六面体を72°，144°，216°，288°回転させて同様の花形を得ることができる。
これで，初めの花形と合わせて計６つの花形が得られるが，隣接する花形は２つの尖鋭六面体を共有している。そして，６つの花形は半球状になっており，各花形は正十二面体の面の方向を向いている。使用する尖鋭六面体は15個である。
この花形半球をもう１つ用意して，互いに逆さにして縁を噛合わせてみる。正十二面体は，正五角形６枚からなる半球状の皿を２つ貼り合わせて得られるが，それと同じ要領である。ただし，花形半球では，各半球の縁に尖鋭六面体の環状列がジグザグに並んでいて，噛合わせに際しては，一方を間引く必要がある。間引かれる尖鋭六面体は10個にものぼるので，実はこの操作は，１つの花形半球に，最初の尖鋭六面体５個からなる花形１つを，逆さにして貼り付けることと同じである。
ともかく，こうして最終的に得られるのは，12の花形が正十二面体の面の方向を向いた，20個の尖鋭六面体の複合体である。隣接する花形は２つの尖鋭六面体を共有しており，これは正十二面体の稜にあたる。また，どの尖鋭六面体も３つの花形に共有されており，こちらは正十二面体の頂点にあたる。
・菱形六十面体
この複合多面体の内部構造を無視したものは，黄金菱形の面を60枚もつ非凸な多面体である。これを菱形六十面体とか，花形十二面体と呼ぶ。前者は多面体を構成する面数に忠実な名称，後者は５枚の菱形からなる「花形」を１枚の「面」と解釈してつけられたやや強引な名称である。すなわち花型十二面体は十二面体ではない，ということで，紛らわしいので以後，この多面体は菱形六十面体と呼ぶ。
左図は，前出のものと同一の図ではなく，尖鋭六面体20個の複合体には残っていた内部の稜を消したものである。つまり，各花形の中心の頂点から，立体内部に向かう稜は，非凸多面体としての菱形六十面体には存在しないため，消している。菱形六十面体は，60枚の面がすべて同等で，区別がつかない。頂点は最外部に20個，中間に30個，最内部に12個で，計62個ある*3。稜は，外頂点と中頂点を結ぶものが60本，中頂点と内頂点を結ぶものも60本で，計120本だ*4。Ｆ−Ｅ＋Ｖ＝60-120+62＝２となって，オイラーの公式を満たしている。凸多面体と同相なのでオイラー標数は２である。
菱形六十面体の回転対称性は，もちろん二十面体群である。20個の尖鋭六面体は，菱形六十面体の中心から，正十二面体の頂点の方向に向いている。あるいは，同じことだが，正十二面体の双対である正二十面体の面の方向に向いている。このことから，尖鋭な黄金菱形六面体の鋭角頂点に集まる正三角錐は，正二十面体の面と中心を結んで得られる正三角錐であることがわかる。尖鋭六面体の１つの鋭角頂点を，混在頂点の位置まで切頂すると七面体（三角形４，黄金菱形３）が得られるが，菱形六十面体は，正二十面体の表面に，この七面体を20個，とげのように貼り付けて作ることもできる。
・大きな菱形三十面体をつくる
菱形六十面体の花形部分には，菱形二十面体や菱形三十面体の五次の頂点がすっぽり収まる。よって，菱形六十面体には，菱形二十面体や菱形三十面体を計12個貼り付けて，表面を完全に覆ってしまうことができる*5。このとき12個の二十面体や三十面体は，隣接するもの同士がただ１枚の面を共有して接している。右図のように，菱形二十面体を12個貼り付けると，表面にわずかの凹みがある，かなり凸に近い多面体になる。
この凹みは20箇所あって，その底の頂点はちょうど中の菱形六十面体の最外頂点と一致する。ここには扁平な黄金菱形六面体*6の鈍角頂点*7がすっぽり収まる。このとき，扁平六面体の露出面は，隣接する菱形二十面体の面と面一になる。この全体は，ひとまわり大きな菱形三十面体になっている。右図に，菱形六十面体と扁平六面体の位置関係を示し，大きな菱形三十面体は下図に示す。
この大きな菱形三十面体は，もとの菱形六十面体の二倍の稜長をもつ。大きな菱形三十面体を構成する菱形六十面体，菱形二十面体，扁平菱形六面体は，すべて等稜の黄金菱形六面体で構成されるから，この大きな菱形三十面体も，二種類の黄金菱形六面体のみから構成できる。扁平，尖鋭の黄金菱形六面体からは，それと等稜の菱形三十面体も作れたが，二倍の稜長をもつ菱形三十面体も作れるのである。
もちろん，菱形六面体を８個，２×２×２の格子状に積み上げれば二倍の稜長をもつ菱形六面体が得られるので，それを使って大きな菱形三十面体を（第二種菱形十二面体→菱形二十面体→菱形三十面体の手順で）作れることは自明である。しかし，菱形六十面体から出発する積み上げ方は，これとはまったく異なる積み上げかたになる。
ただ，菱形三十面体を構成する尖鋭六面体と扁平六面体の数の比は，どちらの積み上げかたでも１：１である。計算してみよう。菱形六十面体に尖鋭が20個，菱形二十面体に尖鋭，扁平が５個づつであり，大きな菱形三十面体は，菱形六十面体１個，菱形二十面体12個，扁平菱形六面体20個からなる。よって，大きな菱形三十面体を構成する六面体は，尖鋭が20+5*12=80個，扁平が5*12+20=80個で同数になる。小さな菱形三十面体は，尖鋭・扁平10個づつだったから，どちらも１：１である。大は稜長が小の２倍であるから体積比は８倍，よって六面体の個数も８倍になっている。
実は，稜長の等しい尖鋭六面体と扁平六面体は，体積比が無理数（黄金比！）になるので，これら二種の六面体を積み上げてどのような大きさの菱形三十面体を作っても*8，尖鋭・扁平の必要数は必ず同数になる。菱形三十面体だけでなく，菱形二十面体，第二種菱形十二面体でも同様である。
*1:対角線の長さの比が黄金比（1.618…）の，合同な菱形６枚からなる多面体のうち，菱形の鋭角頂点が３つ集まる頂点をもつもの。
*2:構成面の菱形の鋭角が３つ集まる頂点を，尖鋭六面体の鋭角頂点と呼ぶ。
*3:外頂点は，中心から見て正十二面体の20個の頂点方向にあり，中頂点は正十二面体の30本ある稜の中点の方向にあり，内頂点は正十二面体の12枚の面方向にある。
*4:外頂点と中頂点を結ぶ稜は，外頂点１個につき３本なので，20*3=60本，中頂点と内頂点を結ぶ稜は，内頂点１個につき５本なので，12*5=60本。
*5:菱形二十面体と菱形三十面体を混在させなければ，二十面体群の対称性は保たれる。
*6:対角線の長さの比が黄金比の，合同な菱形６枚からなる多面体のうち，菱形の鈍角頂点が３つ集まる頂点をもつもの。
*7:構成面の菱形の鈍角が３つ集まる頂点を，扁平六面体の鈍角頂点と呼ぶ。
黄金菱形六面体を積み上げる（その２）
前回のエントリで，扁平と尖鋭，二種類の黄金菱形六面体を積み上げていって，二個づつで第二種菱形十二面体，五個づつで菱形二十面体，十個づつで菱形三十面体がつくれることを述べた。この様子を動画にしてみた。
http://d.hatena.ne.jp/Polyhedron/files/%E9%BB%84%E9%87%91%E8%8F%B1%E5%BD%A2%E7%A9%8D%E3%81%BF%E6%9C%A8.wmv?d=.wmvこの積み上げかたは一通りには限られないのだが，今回は，本質的に異なる積みかたがいくつあるかを勘定してみたい。積みかたが「本質的に異なる」とは，回転や鏡映の操作をしても積みかた同士を一致させることができないことをいう。
・第二種菱形十二面体の積みかた
まず，一つの菱形六面体に三つの菱形六面体を積み重ねて菱形十二面体を得るやりかたは，何通りだろう？積み上げながら順に数えていこう。
扁平から出発しても，尖鋭から出発しても，菱形六面体は面がすべて同等で区別がつかないので，二つ目の六面体を積む場所は本質的には一通りしかない。そして，一つ目の六面体に同じ種類の六面体を積むときの向きは，積み重ね面に対して互いが鏡像になる向きに限られ，一通りしかない。そのあと，残りの二つの六面体の積みかたは，一意に決まる。
よって，積まれてできた菱形十二面体は，本質的に一通りしかない。あるいは同じことだが，第二種菱形十二面体を四つの黄金菱形六面体に分割するやりかたは，ただ一通りである。
・菱形二十面体の積みかた
次に，先ほど積み上げた第二種菱形十二面体に，菱形六面体をさらに積み上げて，菱形二十面体を得るやりかたは，何通りだろう？
まず，第二種菱形十二面体を固定したとき，積み上げの対象となる六つの面の選びかたは，四通りある。ただし，もとの第二種菱形十二面体は，内部の分割状態を含めて考えても鏡映対称面が二枚残っている。第二種菱形十二面体の直交する対称軸三本のうち長軸及び短軸*1を含む面と，短軸に垂直で中心を通る平面とが，この残存対称面である*2が，これらの面に関して，六つの面の選びかた四通りは対称になっている。よって，積み上げの対象となる六つの面の選びかたは，本質的には一通りしかない*3。
ただ，積み上げ対象面に六面体を積むときの六面体の向きが二通り存在する。第二種菱形十二面体の内部構造が長軸に沿って非対称なため，積み上げていく六面体の向きが長軸に対してどちらに傾いているかで区別が生じるからだ。この傾きの方向が決まれば，十二面体に積むべき六つの六面体の積みかたは一意的である。
よって，積まれてできた菱形二十面体は，本質的に二通りである。すなわち，菱形二十面体を十の黄金菱形六面体に分割するやりかたは，二通りある。
・菱形三十面体の積みかた
最後に，先の菱形二十面体に，菱形六面体を積み上げて，菱形三十面体を得るやりかたが，何通りあるか数えよう。
もとの菱形二十面体の内部構造（菱形六面体による分割構造）を考えると，本質的に異なる内部構造のいづれの場合も，鏡映対称面や回転対称軸をもたない。そして，積み上げの対象となる十の面の選びかたは，それぞれ二通りある。その十面を選ぶと，そこに菱形六面体を積み上げて菱形三十面体にするやり方は一通りしかない。
結局，積まれてできた菱形三十面体は，本質的に四通りである。すなわち，菱形三十面体を二十の黄金菱形六面体に分割するやりかたは，四通りある。
・四通りの共通点
冒頭の動画を見ていただくと分かるように，この前回紹介した積みかたにおいて，菱形三十面体の表面に露出していない菱形六面体は，扁平が一つ，尖鋭が一つの計二つである。露出しない扁平六面体は，十二面体をつくるときの二つ目の扁平六面体で，露出しない尖鋭六面体は，二十面体をつくるときに十二面体に積み重ねる二つ目の尖鋭六面体である。
そして興味深いことに，本質的に異なる菱形三十面体の積み上げかたのどれでも，表面に露出しない菱形六面体が，扁平一つ，尖鋭一つの計二つであることは変わらない。
積みかたを区別する際に，鏡像同士は同一視したが，もし鏡像も区別する，すなわち回転によって重ねられない積みかたを区別するとすれば，異なる積みかたは計八通りになる。四通りのそれぞれに対して鏡像があるためである。
黄金菱形六面体を積み上げる
よく見るお気に入りのサイトに，hhaseさんの「あそびをせんとや」がある。かたちとパズルに関する話題が豊富で眺めていてとても楽しい。先日，その「あそびをせんとや」で拙ブログを紹介していただいた。有り難うございます。
・黄金菱形多面体間の関係
前回見たように，黄金菱形多面体は，平行移動によって，六面体→十二面体→二十面体→三十面体と次々に得ることができた*1。六面体は扁平なものから出発しても，尖鋭なものから出発してもよい*2。稜の向きは，六面体では３方向しかないが，平行移動の向きが順次加わることによって，４方向，５方向，６方向と増えていく。逆に，三十面体から始めて，特定の向きの稜を縮めて点にすることによって，二十面体→十二面体→六面体が順次得られる。
黄金菱形多面体間の興味深い関係は，このほかにもある。尖鋭六面体２つと，扁平六面体２つをうまく積み上げると，第二種菱形十二面体が得られるのだ。この十二面体に，尖鋭六面体と扁平六面体をさらに積み上げてゆくことで，菱形二十面体，菱形三十面体も得られる。
・黄金菱形多面体の二面角
隙間なく積み上げることを考えるので，黄金菱形多面体の二面角を調べておく。多面体の二面角とは，稜において隣接する２枚の面がなす角で，各稜をそれに垂直な平面で切ったとき，切口に現れる角度のことである。一般に，異なる稜では二面角は異なるが，黄金菱形多面体で現れる角度は，次のようにすべてπ／５の倍数である。
| 名称 | 形状 | 36° | 72° | 108° | 144° |
| 尖鋭菱形六面体 |  |
鋭角3の頂点に集まる稜 6本 |
鋭角1+鈍角2の頂点同士をつなぐ稜 6本 |
||
| 扁平菱形六面体 |  |
鋭角2+鈍角1の頂点同士をつなぐ稜 6本 |
鈍角3の頂点に集まる稜 6本 |
||
| 第二種菱形十二面体 |  |
鋭角4の頂点と鋭角1+鈍角2の頂点を結ぶ稜 4本 |
鋭角1+鈍角2の頂点と鋭角3+鈍角1の頂点を結ぶ稜 8本 |
鈍角3の頂点に集まる稜 12本 |
|
| 菱形二十面体 |  |
鋭角3+鈍角1の頂点同士をつなぐ稜 10本 |
鈍角3の頂点に集まる稜 30本 |
||
| 菱形三十面体 |  |
鈍角3の頂点に集まる稜 30本 |
十二面体が，３種類の二面角をもち，最もバラエティに富んでいる。十二面体は，頂点形状も４種類と他を圧倒していた。三十面体は，稜がすべて同等な多面体*3なので，どこでも二面角が一様である。
黄金菱形の対角線の長さの比は，正五角形の辺と対角線の長さの比である黄金比だ。そのため黄金菱形多面体と正五角形は関係が深く，黄金菱形多面体の二面角は，正五角形に現れる。正五角形の対角線は内角を三等分するが，そこには36°，72°，108°が見えるし，144°は36°の補角である。特に尖鋭六面体の二面角は正五角形の内角・外角と一致し，扁平六面体の二面角は星形正五角形の内角・外角と一致する。
・第二種菱形十二面体をつくる
扁平六面体（左図）に対し，面が一致するように，任意の向きで尖鋭六面体を積む。すると，重なった面は内部に隠れて，それを取り囲むように新たな二面角が４つできる。それらはすべて異なっていて，それぞれ108°，216°，252°，144°である。このうち252°の二面角に，尖鋭六面体の108°の二面角が挟まると，ちょうど４直角になる。よってそうなるように，２つ目の尖鋭六面体を積むことができる（中図）。このとき，面と面が一致するような積みかたは一通りしかなくて，１本の稜が内部に隠れ，重なった面２組も隠れてまた新たな二面角ができる。尖鋭六面体同士の境目に216°，144°，144°，扁平六面体と新たな尖鋭六面体の境目に216°，144°，144°である。この状態で，216°の二面角が３箇所にあり，これを扁平六面体の144°の二面角でぴったり覆うことができる。すると３本の稜が隠れ，貼り合わせ面３組も隠れて，表面には面が12枚，稜が24本残る（右図）。これは第二種菱形十二面体にほかならない。
もとの扁平六面体に積み重ねた３つの六面体は，重ねた面から延びる稜がすべて同じ方向を向いている。他の稜はもとの扁平六面体の稜に一致するか，それと平行である。よってこの貼り合わせは，扁平六面体の平行移動で十二面体ができることと全く同じことを意味している。扁平六面体の鈍角頂点を囲む３つの面に貼り合わせた３つの六面体が，それぞれの面を，もとの扁平六面体のどの稜とも異なるある方向に動かした軌跡になっている。扁平六面体を平行移動して十二面体を得ることと，扁平六面体に尖鋭六面体２と扁平六面体１を貼り合わせて十二面体を得ることは，単に表現を変えたにすぎない。
ここでは扁平六面体から出発する例で説明したが，尖鋭六面体から出発しても，同様にして第二種菱形十二面体が得られる。
・菱形二十面体をつくる
得られた十二面体（左図）の面のうち，半数の６つの面に，扁平六面体を３つ（中図），尖鋭六面体を３つ，稜の向きが揃うように貼り付けると，二十面体が得られる（右図）。少し分かりにくいかも知れないので，角度を変えた図も示しておく。下図左から，十二面体，それに扁平六面体のみ積んだもの，尖鋭六面体のみ積んだもの，すべてを積んだものである。
・菱形三十面体をつくる
さらに，二十面体の面のうち，半数の10面に，尖鋭六面体を５つ，扁平六面体を５つ，稜の向きが揃うように貼り付ければ，三十面体が得られる。二十面体から三十面体への積み上げはシンプルで，二十面体の五回対称軸を中心にして，尖鋭六面体が５つ，相接して対称に並び，その外側に扁平六面体が５つ，相接して対称に並ぶ。
以上のように，尖鋭六面体と扁平六面体をそれぞれ10個づつ使って，菱形三十面体をつくることができる。このとき，計20個の六面体のうちで，同じ方向を向いているものは存在しない。菱形三十面体の稜は６つの方向を向いている。この６方向のうちから，３つを選ぶ組み合わせは6Ｃ3＝20通りあるが，それがまさに積み上げた20個の六面体と対応している。
・菱形十面体を積む
扁平六面体と尖鋭六面体を１つづつ貼り合わせたものは，計12枚の面のうち，２枚が貼り合わさって内部に隠れるので十面体である。この非凸な黄金菱形十面体を，２つ組み合わせると十二面体になることが「あそびをせんとや」で紹介されている。この十面体は鏡映対称面がないキラルな多面体であるが，この組み合わせは鏡像同士では不可能で，合同な２つでなければ貼り合わせができない。右手系左手系どちらの十面体からでも十二面体が得られる。できあがりの十二面体の外形は，鏡映対称だ。
この十面体をさらに積み上げていって，二十面体，三十面体をも得ることができる。十面体２個で十二面体が得られ，３個足すと二十面体，さらに５個足すと三十面体が得られる。ただし，十二面体を二十面体にするときには，鏡像をまぜなくてはならない。３つの十面体のうち，一つは鏡像にしなくてはうまく重ねられない。図では右上の十面体だけが他の鏡映になっている。
二十面体を三十面体にするときは，鏡像をまぜてはならない。
黄金菱形多面体
・菱形多面体を列挙する
合同な菱形から構成される凸多面体を菱形多面体というが，前々回まで，このうち菱形六面体，菱形十二面体，菱形三十面体について述べてきた。後二者は，準正多面体*1の双対であり，対称性が高い。菱形六面体は，立方体を，稜長を変えずに潰したような形をしている。周囲からしぼるように潰すと，尖鋭菱形六面体が得られ，平行な壁で挟むように潰すと，扁平菱形六面体が得られる。
菱形多面体にはこのほかに，菱形二十面体と第二種菱形十二面体がある。菱形六面体は菱形の形には制限がなく，菱形十二面体は白銀菱形，菱形三十面体は黄金菱形に限られるのだったが，菱形二十面体と第二種菱形十二面体はいずれも黄金菱形*2を面としている。菱形二十面体と第二種菱形十二面体は，菱形の鋭角と鈍角が混在する頂点をもつので，対称性が低く，内接球も稜接球ももたない。もちろん外接球ももたない。ぱっと見も，なんだか潰れたような，レンズ状の形をしている。
・５種の黄金菱形多面体
上の図をよく見るとわかるように，菱形二十面体は，鋭角ばかりが５つ集まる頂点を２個，鈍角ばかりが３つ集まる頂点を10個もち，他に鋭角３つと鈍角１つが混在した頂点を10個もつ。五次の頂点を結ぶ軸が五回対称軸であり，回転対称性は二面体群である。
一方，第二種菱形十二面体は，鋭角ばかりが４つ集まる頂点を２つ，鈍角ばかりが３つ集まる頂点を４つもち，他に鋭角３鈍角１の混在頂点が４つ，鋭角１鈍角２の混在頂点が４つある。直交する３本の二回対称軸があり，１本は，四次の鋭角頂点を結ぶ位置にあり，残り２本は対向する面の中心を貫いている。やはり対称性は二面体群である。なお，立方体を除く菱形六面体は，三回対称軸が一本で，対称性は巡回群だ。
第二種菱形十二面体は，菱形十二面体の任意の一組の対向面について，鋭角と鈍角を入れ替えたものになっている。対向二面のみを90°回転したものと言ってもいい。多面体として閉じたままこの操作を行なうには，構成面の菱形の対角線比は白銀比から黄金比に置き換えなくてはならないということである。これら二種類の菱形十二面体は，面，稜，頂点の数は同じで，頂点に集まる面の数も等しい。すなわち両者は組み合わせ的には同等な多面体である。
結局，菱形多面体には，菱形六面体，菱形十二面体，菱形三十面体，菱形二十面体，第二種菱形十二面体の計５種類があることになる。菱形十二面体を除くと，すべて黄金菱形によるものが存在するので，菱形十二面体以外をまとめて黄金菱形多面体とも呼ぶこともある。黄金菱形六面体は尖鋭型と扁平型の二種が可能なので，これらを別の多面体と考えて，黄金菱形多面体の種類は５種ということになる。表にまとめておこう。
| 名称 | 形状 | 面数 | 稜数 | 頂点数 | 頂点の内訳 |
| 菱形三十面体 | |
30 | 60 | 32 | 鋭角5＝12 鈍角3＝20 |
| 菱形二十面体 | |
20 | 40 | 22 | 鋭角5＝2 鈍角3＝10 鋭角3+鈍角1＝10 |
| 第二種菱形十二面体 | |
12 | 24 | 14 | 鋭角4＝2 鈍角3＝4 鋭角3+鈍角1＝4 鋭角1+鈍角2＝4 |
| 扁平菱形六面体 | |
6 | 12 | 8 | 鈍角3＝2 鋭角2+鈍角1＝6 |
| 先鋭菱形六面体 | |
6 | 12 | 8 | 鋭角3＝2 鋭角1+鈍角2＝6 |
・黄金菱形多面体と面の削除
黄金菱形多面体の間には，次のような興味深い関係がある。菱形三十面体の一部の面を取り除くことによって，菱形二十面体，第二種菱形十二面体，扁平菱形六面体を順次得ることができるのである。
菱形三十面体の対向する２頂点を極としたとき，赤道上に位置する10枚の面を除いて残りの両半球をつなぐと，菱形二十面体が得られる。上図左の菱形三十面体で，赤く着色した面を削除すると，右の菱形二十面体が得られることが分かるだろうか。菱形二十面体が菱形三十面体を上下から潰したような格好をしているのも，これで納得がいく。面の削除により，五次の鋭角頂点と三次の鈍角頂点がそれぞれ10個破壊されて，両者が組み合わさって鋭角3+鈍角1の混合頂点になっている。
この菱形二十面体からさらに８枚の面を除いて残りをつなぐと，第二種菱形十二面体が得られる。この様子をやや詳細に作図したのが上図である。左はもとの菱形二十面体で，赤く着色したのが削除されるべき面である。その右には削除される面のみ示した。帯状に連なっているのがわかる。その次の図では，この帯を除いており，上下を近づけていって最後の図で貼り合わせている。面の削除により，残っていた五次の鋭角頂点は三次の鈍角頂点と結合して鋭角3+鈍角1の混合頂点となる。三次の鈍角頂点は，このほか鋭角1+鈍角2の混合頂点となるものと，そのまま残るものがある。鋭角3+鈍角1の混合頂点は，四次の鋭角頂点になるか，あるいはそのまま残る。
第二種菱形十二面体からさらに６枚の面を除いて残りをつなぐと，扁平菱形六面体が得られる。取り除くゾーンをずらせば，尖鋭菱形六面体を得ることもできる。
・菱形多面体のゾーン
黄金菱形多面体間を推移する際に取り除く面は，元の菱形多面体を環状に取り巻くようにつながっており，このベルト状の帯をゾーンと呼ぶ。ゾーンの展開図は，合同な菱形を，平行な対向辺の向こう側へ次々につないでいった帯となっている。当然，菱形のつなぎ目はすべて平行だ。そしてこの帯の両端を，環状になるようにつないでも，菱形をつなぐ稜が平行であることは変わらない。よって，菱形多面体において，ゾーンを構成する菱形が相互に隣接する稜は，すべて平行である。
もちろんゾーンの取り方は，一通りに決まるのではなく，何通りも存在する。まず，菱形三十面体は五回対称軸を６本もつから，当然，どの軸に対してもその赤道に対応するゾーンが一つづつ存在する。すなわち菱形三十面体は６つのゾーンをもつ（下図）。しかも，菱形三十面体を構成する30枚の面はすべて，これら６つのゾーンのうち２つのゾーンに属する。*3ゾーン一つについて稜の方向が一つ決まるので，各面に着目すると，２組の平行な辺の向こう側へ，２つのゾーンがそれぞれ延びていることになる。どの面についてもそうなので，10枚の黄金菱形を環状に連ねた帯を６つ用意して，どの面でも２枚の帯が重なって交叉するように，うまく組み合わせて（編んで）いくと，菱形三十面体を作ることができる。各ゾーンにおいて，菱形が隣接する稜は10本あり，すべて平行である。６つのゾーンの稜は，編まれた菱形三十面体の稜と過不足なく一致するから，菱形三十面体の稜は，６つの方向を向いていることが分かる。
菱形三十面体に対し，五回対称軸を一つ選んで対応するゾーンを除き，菱形二十面体を得ると，その五回対称軸は菱形二十面体の唯一の五回対称軸となる。菱形二十面体から第二種菱形十二面体を得るのに除くべきゾーンは，この五回対称軸に対して斜めに，たすき掛けをしたように傾いている。このゾーンを五回対称軸周りにｎ／５回転した位置にもゾーンがあることは，対称性から明らかである。すなわち菱形二十面体は８枚の菱形からなるゾーンを５つもつ（下図）。菱形三十面体と同様，菱形二十面体は，８枚の黄金菱形を環状に連ねた帯５つを編むことによって作ることができる。菱形二十面体の稜は，５つの方向を向いている。６つの方向を向く菱形三十面体の稜のうち，１つの方向の稜を縮めて点にしてしまったものが菱形二十面体であるから，当然そのようになる。
第二種菱形十二面体は，三次の頂点を８つもち，対向する頂点２つを組とすると４組に分けられる。各組の２頂点をつなぐ軸に対して赤道にあたる位置にそれぞれゾーンがある。すなわち第二種菱形十二面体は，６枚の菱形からなるゾーンを４つもつ（下図）。よって，第二種菱形十二面体は，６枚の黄金菱形を環状に連ねた帯４つを編むことによって作ることができる。第二種菱形十二面体の稜は，４つの方向を向いている。５つの方向を向く菱形二十面体の稜のうち，１つの方向の稜を短くして点にしてしまったものが第二種菱形十二面体であるから，当然そのようになる。
図示はしないが，菱形六面体が，４枚の菱形からなるゾーンを３つもつことは明らかだろう。よって菱形六面体も，４枚の菱形を環状に連ねた帯３つを編むことによって作ることができる。菱形六面体の稜は，３つの方向を向いている。
・黄金菱形多面体の平行移動
以上のように，菱形三十面体から面を取り去っていくことで，菱形二十面体，第二種菱形十二面体，扁平菱形六面体が得られるが，当然逆の操作をすれば，扁平菱形六面体に面を挿入していくことで，第二種菱形十二面体，菱形二十面体，菱形三十面体を得ることができる。この逆操作は，次のようにも解釈できる。
すなわち，扁平菱形六面体を，３つの方向を向く稜のうち，どれとも異なるある方向に，稜長と等しい距離だけ平行移動させると，その軌跡は第二種菱形十二面体になる。さらに，第二種菱形十二面体を，どの稜とも異なるある方向に，稜長と等しい距離だけ移動させれば菱形二十面体が得られ，菱形二十面体をどの稜とも異なるある方向に，稜長と等しい距離だけ移動させれば菱形三十面体が得られる。この平行移動によって，最も外側にある稜が新しい菱形面を形成する。
菱形二十面体を平行移動させた軌跡が菱形三十面体になることを図で示しておこう。
菱形充填
・菱形十二面体，菱形三十面体の拡張
合同な菱形からなり，どの稜も同等であるような多面体は，立方体*1，菱形十二面体，菱形三十面体の三種だけである。いずれの場合も菱形の形状は一意に決まり，立方体では正方形，菱形十二面体は白銀菱形，菱形三十面体は黄金菱形しか許されない*2。
立方体は，直角が３つ集まる頂点をもつ。菱形十二面体では，鋭角が４つ集まる頂点と鈍角が３つ集まる頂点があり，菱形三十面体では，鋭角が４つ集まる頂点と鈍角が３つ集まる頂点がある。それなら，鋭角が６つ集まる頂点と鈍角が３つ集まる頂点があるような菱形多面体はないのだろうか？実は，それは多面体ではなく，平面充填形になる。
平面充填とは，平面上の閉じた図形からなるタイルを隙間なく並べて，平面全体を埋めつくした形である。特に，多角形のタイルを用いて，辺と辺が完全に一致するような辺対辺充填を考えることが多い。合同な菱形を，鋭角が６つ集まる頂点と鈍角が３つ集まる頂点が規則正しく並ぶようにすると，平面充填形になる。菱形の形状は，鋭角が60°，鈍角が120°のもの*3しか許されない。一つの頂点に集まる内角の和が，360度にならなくてはならないためである。
| 名称 | 形状 | 対角線比 | 面数 | 稜数 | 頂点数 (鋭角,鈍角) |
頂点に集まる面数 (鋭角,鈍角) |
| 立方体 |  |
1:1 | 6 | 8 | 12 | 3 |
| 菱形十二面体 | |
1:√2≒1.414 （白銀比） 正方形の辺と対角線の長さの比 |
12 | 24 | 14(6,8) | (4,3) |
| 菱形三十面体 |  |
1:(√5＋1)/2≒1.618 （黄金比） 正五角形の辺と対角線の長さの比 |
30 | 60 | 32(12,20) | (5,3) |
| 菱形充填 |  |
1:√3≒1.732 （白金比） 正六角形の辺と短い対角線の長さの比 |
∞ | ∞ | ∞ (1:2) |
(6,3) |
・菱形の並進充填，稲妻充填
上のような充填形を，菱形充填と呼ぶ。ただし，合同な菱形による平面の辺対辺充填にはほかに次の二種類がある。
一つは，すべての菱形が周期的な平行移動によって重ねられるような平面充填であり，菱形並進充填というべきものである（左図）。どの頂点にも４つの菱形が集まっている。菱形並進充填では，並進対称軸が二本あり，稜の方向と一致する。これらは一般には直交しないので，特別な場合を除いて稜の方向の鏡映軸はない。菱形は二本の対角線が互いに垂直二等分しあうので，菱形並進充填は対角線が鏡映軸である。
菱形を一辺を軸として裏返した菱形は，もとの菱形と合同である。これをもとの菱形と一辺で貼り合わせたものは，平行移動によって平面を充填する。これによって合同な菱形をジグザグに並べた充填形ができる。菱形稲妻充填である（上右図）。菱形稲妻充填でも，どの頂点にも４つの菱形が集まる。並進対称軸は二本あり，一方は稜の方向と一致するが，他方はそれに直交している。菱形稲妻充填は鏡映軸をもち，それは稜の方向と一致する並進対称軸と平行である*4。
菱形充填では菱形の形状は一意に決まってしまうが，菱形並進充填と菱形稲妻充填では，菱形の形状は任意である。菱形が正方形である場合，菱形並進充填と菱形稲妻充填は，正方充填*5に一致する。
菱形並進充填は，正方充填に，直交軸を斜交軸にする変換を施して得られる。正方充填と同様に，面，稜，頂点は，いずれも同等で，区別がつかない。一方，菱形稲妻充填*6では，面，頂点は，同等であるが，稜は同等でない。稜には鏡映軸に平行なものとそうでないものという区別がある。
・球面の菱形充填
平面の菱形充填は，面や稜や頂点が無限個ある菱形多面体と解釈することができる。逆に言えば，菱形十二面体と菱形三十面体は，球面上に球面菱形を隙間なく並べて，球面を埋めつくした充填形と解釈できる。菱形十二面体や菱形三十面体を包む同心球面に，これらの多面体を中心から射影したものを考えると，まさにこれが球面の菱形充填形である。球面上では菱形の内角の和が360°よりも大きいため，小さいほうの内角*7が４つ集まって360°になったり，５つ集まって360°になることが可能なのである。
左が球面菱形十二面体，右は球面菱形三十面体である。球面菱形十二面体を構成する球面菱形は，内角が90°と120°のもので，球面菱形三十面体を構成する球面菱形は，内角が72°と120°のものだ。平面菱形充填も球面菱形充填も，各内角は360°を頂点に集まる角の数で割った値となる。ちなみに球面立方体を構成する球面正方形は，内角が120°である。
・菱形充填と三六角充填
菱形並進充填と菱形稲妻充填は，すべての頂点に４つの菱形が集まっており，正方充填と深い関係にある。一方，菱形充填は，残る二つの平面正充填である正三角充填，正六角充填と密接な関係にある。菱形充填の頂点には，鋭角ばかりが６つ集まるものと，鈍角ばかりが３つ集まるものがあるが，前者は正三角充填の頂点と一致し，後者は正六角充填の頂点と一致する（下図）。平面充填は二次元だが，せっかくの３ＤＣＧなので，遠近感をつけてみた。
つまり，正三角充填と，それに双対な正六角充填の頂点を互いにつなぐと菱形充填形が得られる。この正三角充填，正六角充填について，互いの稜の交点をつないでいくと，アルキメデス充填の一つである三六角充填が得られる（下左図）。三六角充填は菱形充填の双対であり，各頂点周りに，正三角形と正六角形が交互に４つ並んだ，準正充填形である。確かに菱形充填と三六角充填は頂点と面を交換したものになっている（下右図）。
上左図をよく見ると分かるように，三六角充填は，正三角充填の各頂点を，稜の中点まで切頂したものともいえるし，正六角充填の各頂点を，稜の中点まで切頂したものともいえる。
・菱形充填と斜方三六角充填，大斜方三六角充填
菱形充填を切頂していくと，アルキメデス充填の一つ，斜方三六角充填が得られる（下左図）。鋭角が６つ集まる頂点からの切口は正六角形であり，鈍角が３つ集まる頂点からの切口は正三角形である。菱形面の残った部分が正方形になったところで切頂を止めればよい。
斜方三六角充填の頂点配列は(3,4,6,4)である。正六角充填において，各稜を切り離して正方形でつなぎ，残った穴を正三角形で塞いだ形になっている。ジョンソン立体の三角台塔→四角台塔→五角台塔の系列が平面につぶれた六角台塔が重なりながらつながった形ともいえる。
菱形充填をさらに切頂していくと，別のアルキメデス充填，大斜方三六角充填が得られる（上右図）。鋭角が６つ集まる頂点からの切口は十二角形であり，鈍角が３つ集まる頂点からの切口は六角形である。各切口が正十角形，正六角形になるように，しかも残った菱形面が正方形になるように，うまく調節しなくてはならない。
大斜方三六角充填の頂点配列は(4,6,12)である。三六角充填において，各頂点を切頂したような形である。三六角充填を切頂しても，実際には大斜方三六角充填にはならず，正多角形でない面ができてしまう。そのことは，右図において三六角充填の正三角形の辺と，大斜方三六角充填の正六角形の辺が，一致せずにずれていることからも分かる。
*1:正方形は菱形の一種である。
*2:立方体を除く菱形六面体はすべての稜が同等ではない。菱形六面体においては菱形の形状は任意である。
*3:対角線比は１：√３。二つの正三角形を一辺で貼り合わせた菱形。
*4:ある軸に沿う平行移動と，その同じ軸に関する鏡映の組み合わせによって二次元図形が重なるとき，その軸をすべり鏡映軸という。並進対称軸と平行な鏡映軸は常にすべり鏡映軸である。逆に鏡映軸がすべり鏡映軸ならそれは必ず並進対称軸と平行である。
*5:正方充填は合同な正方形で平面を辺対辺充填したもので，三種ある平面正充填の一つであり，直交する等間隔の平行線群によって構成される，いわゆる正方格子である。
*6:正方充填と一致する場合を除く。
*7:90°より小さい鋭角とは限らないのでこのような表現とした。
菱形三十面体のＣＧ
・正十二面体と菱形三十面体
菱形三十面体は，合同な黄金菱形30枚*1からなる多面体である。左図のように，正十二面体の各面に正五角錐を貼り付けることで作ることができる。隣同士で正五角錐の側面が面一になるので，構成面は菱形になる。正五角錐は12個で，それぞれ５枚の側面をもつから，12*5/2=30枚の菱形ができる。
菱形三十面体のもとになる正十二面体は，実は立方体から作ることができる。上の右図のように，立方体の各面に，屋根状の五面体を貼り付けるのだ。立方体の各面に正四角錐を貼り付けて菱形十二面体を得るのと同じ要領だが，屋根の向きに注意が必要だ。この屋根は底面が正方形で，４枚の側面は三角形と台形が交互に並んでいる。隣接する屋根同士で，異なる側面が接するように屋根を90°ひねりながら貼り付けていく。そうすると隣接屋根の三角形と台形が面一になって，正五角形の面が得られる。
・菱形三十面体と二十十二面体
菱形三十面体の頂点は，鋭角ばかり集まるものが12個，鈍角ばかり集まるものが20個である。前者は同心に配置した正二十面体の頂点と一致し，後者は正十二面体の頂点と一致する。
この正十二面体と正二十面体の複合多面体の凸包が菱形三十面体であり（左図），正十二面体と正二十面体の重複部分が二十十二面体である（右図）。二十十二面体は菱形三十面体の双対多面体*2であり，準正多面体*3の一つである。
二十十二面体は，正十二面体の各頂点を，稜の中点まで切頂したものともいえるし，正二十面体の各頂点を，稜の中点まで切頂したものともいえる。正三角形の面を20枚，正五角形の面を12枚もつ。
・菱形三十面体と接球
菱形三十面体は，内接球と稜接球をもつ。多面体の内接球とは，すべての面に接する球，稜接球とは，すべての稜に接する球である。左図が内接球と菱形三十面体，右図が稜接球と菱形三十面体である。
菱形三十面体が内接球と稜接球をもつことは，その双対である二十十二面体が外接球と稜接球をもつことに対応する。外接球はすべての頂点を通る球であり，内接球と外接球は双対関係にあるからだ。
菱形三十面体は，外接球はもたない。正二十面体の頂点にあたる12個の頂点を通る球（左図）と，正十二面体の頂点にあたる20個の頂点を通る球（右図）が異なる径をもつためである。
これと対応して，二十十二面体は内接球をもたない。正十二面体の面にあたる正五角形の面12枚に接する球と，正二十面体の面にあたる正三角形の面20枚に接する球は異なる径をもつ。
・菱形三十面体と斜方二十十二面体
菱形三十面体（左図）を切頂していくと，アルキメデス立体*4の一つ，斜方二十十二面体（右図）が得られる。鋭角が五つ集まる頂点からの切口は正五角形であり，これは菱形三十面体を正十二面体で切り取ることによって実現できる。また，鈍角が三つ集まる頂点からの切口は正三角形であり，これは菱形三十面体を正二十面体で切り取ることによって実現できる。残りの面が正方形になるように正十二面体と正二十面体の大きさを調節すると，斜方二十十二面体が得られる。
・菱形三十面体と大斜方二十十二面体
菱形三十面体をさらに切頂していくと，アルキメデス立体の一つ，大斜方二十十二面体（右図）が得られる。鋭角が五つ集まる頂点からの切口は十角形であり，これは菱形三十面体を正十二面体で切り取った面を，正二十面体で切頂することによって実現できる。また，鈍角が三つ集まる頂点からの切口は六角形であり，これは菱形三十面体を正二十面体で切り取った面を，正十二面体で切頂することによって実現できる。正十二面体と正二十面体の大きさは，各切口が正十角形，正六角形になるように，しかも残った菱形三十面体の面が正方形になるように，うまく調節しなくてはならない。
菱形十二面体のＣＧ
今まで多面体はポリドロンでつくったものか，そうでなければ手書きの図を掲げていたが，ＣＧを使ってもっときれいに分かりやすくしてみようと思い立つ。フリーウェアの「POV-Ray」を使用した。
菱形十二面体は，合同な白銀菱形12枚*1からなる多面体である。形の説明として一番分かりやすいのは，立方体の各面に，立方体の半分の高さの正四角錐を貼り付ける，というものだろう。隣同士で四角錐の斜面が面一になるので，構成面は菱形になる。
菱形十二面体は，頂点座標がちょうど切りのいい値になるし，頂点数は14個，稜数も24本とほどほどなので比較的簡単にＣＧが作れる。
・菱形十二面体と立方八面体
菱形十二面体の頂点は，鋭角ばかり集まるものが６個，鈍角ばかり集まるものが８個である。前者は同心に配置した正八面体の頂点と一致し，後者は立方体の頂点と一致する。
この立方体と正八面体の複合多面体の凸包が菱形十二面体であり，立方体と正八面体の重複部分が立方八面体である。立方八面体は菱形十二面体の双対多面体*2であり，準正多面体*3の一つである。
立方八面体は，立方体の各頂点を，稜の中点まで切頂したものともいえるし，正八面体の各頂点を，稜の中点まで切頂したものともいえる。正三角形の面を８枚，正方形の面を６枚もつ。
・菱形十二面体と接球
菱形十二面体は，内接球と稜接球をもつ。多面体の内接球とは，すべての面に接する球，稜接球とは，すべての稜に接する球である。左図が内接球と菱形十二面体，右図が稜接球と菱形十二面体である。
菱形十二面体が内接球と稜接球をもつことは，その双対である立方八面体が外接球と稜接球をもつことに対応する。外接球はすべての頂点を通る球であり，内接球と外接球は双対関係にあるからだ。
菱形十二面体は，外接球はもたない。正八面体の頂点にあたる６個の頂点を通る球（左図）と，立方体の頂点にあたる８個の頂点を通る球（右図）が異なる径をもつためである。
これと対応して，立方八面体は内接球をもたない。立方体の面にあたる正方形の面６枚に接する球と，正八面体の面にあたる正三角形の面８枚に接する球は異なる径をもつ。
・菱形十二面体と斜方立方八面体
菱形十二面体を切頂していくと，アルキメデス立体*4の一つ，斜方立方八面体（右図）が得られる。鋭角が四つ集まる頂点からの切口は正方形であり，これは菱形十二面体を立方体で切り取ることによって実現できる。また，鈍角が三つ集まる頂点からの切口は正三角形であり，これは菱形十二面体を正八面体で切り取ることによって実現できる。残りの面が正方形になるように立方体と正八面体の大きさを調節すると，斜方立方八面体が得られる。
青の面が立方体による切口，緑の面が正八面体による切口である。立方体の大きさは，菱形十二面体に内接する立方体の√2倍，正八面体の大きさは，菱形十二面体に内接する正八面体の(4-√2)/2倍である。
・菱形十二面体と大斜方立方八面体
菱形十二面体をさらに切頂していくと，アルキメデス立体の一つ，大斜方立方八面体（右図）が得られる。鋭角が四つ集まる頂点からの切口は八角形であり，これは菱形十二面体を立方体で切り取った面を，正八面体で切頂することによって実現できる。また，鈍角が三つ集まる頂点からの切口は六角形であり，これは菱形十二面体を正八面体で切り取った面を，立方体で切頂することによって実現できる。立方体と正八面体の大きさは，各切口が正八角形，正六角形になるように，しかも残った菱形十二面体の面が正方形になるように，うまく調節しなくてはならない。
立方体の大きさは，菱形十二面体に内接する立方体の(10-√2)/7倍，正八面体の大きさは，菱形十二面体に内接する正八面体の(12+3√2)/14倍である。
・その他
菱形十二面体は，空間を隙間なく充填する。ＣＧでこの様子を表現したものが左図である。
右図は，菱形十二面体の角度を変えて並べてみたものである。
